En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el Mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el Mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, estos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un Mapa del Imperio, que tenía el Tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y los Inviernos. En los Desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el País no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas.
[Del rigor en la ciencia, Jorge Luis Borges]

2011-04-15

molodensky

No labirinto das designações alternativas para métodos de transformação...

Sob a designação genérica de "transformação de Molodensky" encontram-se 3 métodos distintos (cf. Deakin (2004:2)):
It is now common in the literature to describe three Molodensky transformations:
(i) The Molodensky-Badekas transformation: a seven-parameter conformal transformation (or similarity transformation) [...]
(ii) The standard Molodensky transformation: a five-parameter transformation [...]
(iii) The abridged Molodensky transformation: a modified version of the standard Molodensky transformation [...]. The abridged Molodensky transformation equations do not contain the ellipsoidal heights of points to be transformed.
As transformações que interessam mais (neste caso particular)  são as referidas nas alíneas (ii) e (iii) e que serão discutidas mais abaixo.

Transformação de Molodensky-Badekas

Relativamente à transformação geocêntrica de Molodensky-Badekas (epsg:1034) vide Guidance Note Number 7, part 2, v.42, pp. 124:
To eliminate high correlation between the translations and rotations in the derivation of parameter values for the Helmert transformation methods, instead of the rotations being derived about the geocentric coordinate reference system origin they may be derived at a location within the points used in the determination. Three additional parameters, the coordinates of the rotation point, are then required, making 10 parameters in total.
Ou seja, para além dos 7-parâmetros de uma transformação conforme (a.k.a. Helmert ou Bursa-Wolf), é necessário dispôr das 3 coordenadas geocêntricas do ponto de avaliação da transformação (Xp, Yp, Zp), fornecidas no CRS de origem.
Visto de outra forma, a transformação epsg:1032 (Coordinate Frame Rotation) é um caso particular da transformação de Molodensky-Badekas em que o ponto de avaliação é a origem do CRS geocêntrico.

Na base de dados EPSG - tal como para as transformações de 7-parâmetros -  também a transformação de Molodensky-Badekas pode ser declarada sob a forma duma concatenação de operações:


Molodensky-Badekas (geog2D domain) 9636
1 Geographic 2D to Geographic 3D 9659
2 Geographic 3D to Geocentric 9602
3 Molodensky-Badekas (geocentric domain) 1034
4 Geocentric to Geographic 3D 9602
5 Geographic 3D to Geographic 2D 9659



Molodensky-Badekas (geog3D domain) 1039
1Geographic 3D to Geocentric9602
2Molodensky-Badekas (geocentric domain)1034
3Geocentric to Geographic 3D9602

Transformação de Molodensky standard e abridged

Passando agora às transformações não-geocêntricas (Guidance Note Number 7, part 2, v.42, :128):
As an alternative to the computation of the new latitude, longitude and ellipsoid height by concatenation of three operations (geographic 3D to geocentric + geocentric to geocentric + geocentric to geographic 3D), the changes in these coordinates may be derived directly as geographic  coordinate offsets through formulas derived by Molodensky [...]

Deakin (2004) apresenta a derivação das fórmulas para as duas variantes:
Estas transformações requerem 5 parâmetros, 2 dos quais podem ser obtidos a partir das definições dos elipsóides de origem e de destino, designadamente a diferença dos semi-eixos maiores e a diferença de achatamento dos elipsóides. Na base de dados EPSG, que já contem as definições dos vários elipsóides, basta indicar os 3 parâmetros restantes (dϕ, dλ, dh).


Translação geocêntrica

As transformações de Molodensky (epsg:9604 e epsg:9605) assumem que os eixos cartesianos dos dois elipsóides são paralelos.
Formalmente, a transformação de Molodensky standard é equivalente à translação geocêntrica (epsg:1031). Ou seja, desde que um determinado software de transformação de coordenadas realize a concatenação de operações correspondente ao método epsg:9603, os parâmetros de transformação são os mesmos.

Em termos numéricos, existem discrepâncias (que podem ser devidas a arredondamentos nos passos de cálculo intermédios). Segue-se uma experiência simples.
Testou-se a transformação de epsg:27493 (Datum 73/Hayford-Gauss) para epsg:3763 (ETRS89/PT-TM06), usando os parâmetros de transformação do IGP sobre uma amostra de 781 vértices geodésicos com coordenadas conhecidas nos dois CRS. Utilizaram-se os dois métodos - transformação de Molodensky standard e translação geocêntrica - implementados no software ArcGIS 9.3.1. As coordenadas foram armazenadas com precisão de 3 casas decimais.
Os pontos transformados têm sistematicamente uma diferença de 5, 6 ou 7 mm no terreno. É obviamente irrelevante em termos posicionais, mas topologicamente os pontos são diferentes.
É expectável que o mesmo tipo de situação surja em quaisquer implementações diferentes, devido às questões de arredondamentos.

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