Sob a designação genérica de "transformação de Molodensky" encontram-se 3 métodos distintos (cf. Deakin (2004:2)):
As transformações que interessam mais (neste caso particular) são as referidas nas alíneas (ii) e (iii) e que serão discutidas mais abaixo.It is now common in the literature to describe three Molodensky transformations:
(i) The Molodensky-Badekas transformation: a seven-parameter conformal transformation (or similarity transformation) [...]
(ii) The standard Molodensky transformation: a five-parameter transformation [...]
(iii) The abridged Molodensky transformation: a modified version of the standard Molodensky transformation [...]. The abridged Molodensky transformation equations do not contain the ellipsoidal heights of points to be transformed.
Transformação de Molodensky-Badekas
Relativamente à transformação geocêntrica de Molodensky-Badekas (epsg:1034) vide Guidance Note Number 7, part 2, v.42, pp. 124:
To eliminate high correlation between the translations and rotations in the derivation of parameter values for the Helmert transformation methods, instead of the rotations being derived about the geocentric coordinate reference system origin they may be derived at a location within the points used in the determination. Three additional parameters, the coordinates of the rotation point, are then required, making 10 parameters in total.Ou seja, para além dos 7-parâmetros de uma transformação conforme (a.k.a. Helmert ou Bursa-Wolf), é necessário dispôr das 3 coordenadas geocêntricas do ponto de avaliação da transformação (Xp, Yp, Zp), fornecidas no CRS de origem.
Visto de outra forma, a transformação epsg:1032 (Coordinate Frame Rotation) é um caso particular da transformação de Molodensky-Badekas em que o ponto de avaliação é a origem do CRS geocêntrico.
Na base de dados EPSG - tal como para as transformações de 7-parâmetros - também a transformação de Molodensky-Badekas pode ser declarada sob a forma duma concatenação de operações:
| Molodensky-Badekas (geog2D domain) | 9636 | |
| 1 | Geographic 2D to Geographic 3D | 9659 |
| 2 | Geographic 3D to Geocentric | 9602 |
| 3 | Molodensky-Badekas (geocentric domain) | 1034 |
| 4 | Geocentric to Geographic 3D | 9602 |
| 5 | Geographic 3D to Geographic 2D | 9659 |
| Molodensky-Badekas (geog3D domain) | 1039 | |
| 1 | Geographic 3D to Geocentric | 9602 |
| 2 | Molodensky-Badekas (geocentric domain) | 1034 |
| 3 | Geocentric to Geographic 3D | 9602 |
Transformação de Molodensky standard e abridged
Passando agora às transformações não-geocêntricas (Guidance Note Number 7, part 2, v.42, :128):
As an alternative to the computation of the new latitude, longitude and ellipsoid height by concatenation of three operations (geographic 3D to geocentric + geocentric to geocentric + geocentric to geographic 3D), the changes in these coordinates may be derived directly as geographic coordinate offsets through formulas derived by Molodensky [...]
Deakin (2004) apresenta a derivação das fórmulas para as duas variantes:
- epsg:9604 - Molodensky [ver também a página do Instituto Geográfico Português]
- epsg:9605 - Abridged Molodensky [ver também Guidance Note Number 7, part 2, v.42, :128]
Translação geocêntrica
As transformações de Molodensky (epsg:9604 e epsg:9605) assumem que os eixos cartesianos dos dois elipsóides são paralelos.
Formalmente, a transformação de Molodensky standard é equivalente à translação geocêntrica (epsg:1031). Ou seja, desde que um determinado software de transformação de coordenadas realize a concatenação de operações correspondente ao método epsg:9603, os parâmetros de transformação são os mesmos.
Em termos numéricos, existem discrepâncias (que podem ser devidas a arredondamentos nos passos de cálculo intermédios). Segue-se uma experiência simples.
Testou-se a transformação de epsg:27493 (Datum 73/Hayford-Gauss) para epsg:3763 (ETRS89/PT-TM06), usando os parâmetros de transformação do IGP sobre uma amostra de 781 vértices geodésicos com coordenadas conhecidas nos dois CRS. Utilizaram-se os dois métodos - transformação de Molodensky standard e translação geocêntrica - implementados no software ArcGIS 9.3.1. As coordenadas foram armazenadas com precisão de 3 casas decimais.
Os pontos transformados têm sistematicamente uma diferença de 5, 6 ou 7 mm no terreno. É obviamente irrelevante em termos posicionais, mas topologicamente os pontos são diferentes.
É expectável que o mesmo tipo de situação surja em quaisquer implementações diferentes, devido às questões de arredondamentos.